Matematica

Curva de Gauss

A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. Foi desenvolvida pelo matemático francês Abraham de Moivre.Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma Normal.Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provem do Teorema Central do Limite que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso).

Propriedades

Se X segue uma distribuição normal, então a X + b também segue. Se X e Y são distribuições normais independentes, então sua soma U = X + Y, sua diferença V = X - Y ou qualquer combinação linear W = a X + b Y também são distribuições normais. É fácil construir exemplos de distribuições normais X e Y dependentes (mesmo com correlação zero) cuja soma X + Y não é normal. Por exemplo, seja X uma distribuição normal padrão (média 0 e variância 1), então fixando-se um número real positivo a, seja Ya definida como X sempre que X < a e -X sempre que X ≥ a. Obviamente, Ya também é uma normal e X + Ya é uma variável aleatória que nunca pode assumir valores de módulo acima de 2 a (ou seja, não é normal). Quando a é muito pequeno, X e Y são praticamente opostas, e sua correlação é próxima de -1. Quando a é muito grande, X e Y são praticamente idênticas, e sua correlação é próxima de 1. Como a correlação entre X e Ya varia continuamente com a, existe um valor de a para o qual a correlação é zero. A soma de uma grande quantidade de variáveis aleatórias (com algumas restrições) tende a uma distribuição normal - o significado mais preciso disto é o Teorema do Limite Central. A distribuição normal é infinitamente divisível, no seguinte sentido: se X é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal e n é um número natural, então existem n variáveis aletórias X ¹, X²... Xn independentes e identicamente distribuídas, tal que X= X¹ + X²... +Xn.